微分積分例

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (2 x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (2 x^{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

ステップ 3.2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 2 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{3}$ とします。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $2 (x^{3})$ に当てはめます。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3.2.1.3

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ に $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.4

$2$ と $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ をまとめます。

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

ステップ 3.3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.6.1

$3$ と $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

ステップ 3.3.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

ステップ 3.4.2

$\arctan (2 x^{3})$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

ステップ 3.4.4

$\arctan (2 x^{3})$ を $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.1

$\arctan (2 x^{3})$ を $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

ステップ 3.4.4.2

$1$ を掛けます。

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

ステップ 3.4.4.3

$\arctan (2 x^{3})$ を $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

微分積分 例

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