微分積分例

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

ステップ 1

式 $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ が未定義である場所を求めます。

$x < 0, x = 4$

ステップ 2

$\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $4$ 、 $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $4$ としているので、 $x = 4$ は垂直漸近線です。

$x = 4$

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2

極限を求めます。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 3.4

極限を求めます。

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ステップ 3.4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.4.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.1.2

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.5.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.9

簡約します。

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ステップ 3.5.3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.6

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

ステップ 3.8

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 3.9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10

答えを簡約します。

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ステップ 3.10.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.10.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.2.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.10.2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

ステップ 3.10.2.4

$1 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1 + 0}$

ステップ 3.10.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 3.10.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 4$

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例