微分積分例

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

式 $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 3.1.1.2.2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2.3

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.1.2.3.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.2.3.2.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 3.1.1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 3.1.1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

ステップ 3.1.1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.2

総和則では、 $2 e^{x} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.5

$2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 3.1.3.6

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.1.3.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

ステップ 3.1.3.9

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 3.1.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 3.1.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 2$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2$

ステップ 4

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 4.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 4.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 4.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 4.2

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 4.3

極限を求めます。

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ステップ 4.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 4.3.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 4.4

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 4.5

極限を求めます。

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ステップ 4.5.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

ステップ 4.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

ステップ 4.5.2.1.3

$0$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 6}{0 + 1}$

ステップ 4.5.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 6}{1}$

ステップ 4.5.2.3

$- 6$ を $1$ で割ります。

$- 6$

ステップ 5

水平漸近線のリスト：

$y = 2, - 6$

ステップ 6

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 2, - 6$

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例