微分積分例

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $3 \sin^{2} (x)$ を $3 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$- 3 \cos^{2} (x)$ から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 6

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

ステップ 7

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 7.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 9

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 9.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 11

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 12

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 12.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4

$2 π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

ステップ 12.4.3.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 12.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 13.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

ステップ 13.4

$2 π - \frac{5 π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 13.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 13.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.4.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 13.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

ステップ 13.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.4.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

ステップ 13.4.3.2

$12 π$ から $5 π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 13.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

解をまとめます。

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ステップ 15.1

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ と $\frac{π}{6} + π n$ を $\frac{π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15.2

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ と $\frac{5 π}{6} + π n$ を $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

区間 $(0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

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ステップ 16.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

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ステップ 16.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{6} + π (0)$

ステップ 16.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{6} + 0$

ステップ 16.1.2.2

$\frac{π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{6}$

ステップ 16.1.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 16.2

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

ステップ 16.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{5 π}{6} + 0$

ステップ 16.2.2.2

$\frac{5 π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 π}{6}$

ステップ 16.2.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{5 π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

ステップ 16.3

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{6} + π (1)$

ステップ 16.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{6} + π$

ステップ 16.3.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 16.3.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.3.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

ステップ 16.3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

ステップ 16.3.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.4.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

ステップ 16.3.2.4.2

$π$ と $6 π$ をたし算します。

$\frac{7 π}{6}$

ステップ 16.3.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{7 π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

ステップ 16.4

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

ステップ 16.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 π}{6} + π$

ステップ 16.4.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 16.4.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.2.3.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

ステップ 16.4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

ステップ 16.4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.2.4.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

ステップ 16.4.2.4.2

$5 π$ と $6 π$ をたし算します。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 16.4.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{11 π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$

微分積分 例

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