微分積分例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.9

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.10

$- (x^{2} - 2 x - 4)$ を $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.3.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.3.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.3.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{5}$

ステップ 2.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.3.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{5}$

ステップ 2.3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1 + \sqrt{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + \sqrt{5}$ を $x$ に代入します。

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ と $\sqrt{5}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.1.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.1.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.2

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.3

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.5

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.3.3

$\sqrt{5}$ と $\sqrt{5}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.1.2.2.4

$6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

ステップ 4.1.2.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

簡約します。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

ステップ 4.1.2.7

$10 - 2 \sqrt{5}$ と $80$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$2$ を $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

ステップ 4.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$2$ を $80$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

ステップ 4.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

ステップ 4.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

ステップ 4.1.2.8

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

ステップ 4.1.2.9

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

ステップ 4.1.2.10

$\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

ステップ 4.1.2.10.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

ステップ 4.1.2.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

ステップ 4.1.2.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

ステップ 4.1.2.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

ステップ 4.1.2.11.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

ステップ 4.1.2.11.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

ステップ 4.1.2.11.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

ステップ 4.1.2.11.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

ステップ 4.1.2.11.1.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

ステップ 4.1.2.11.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

ステップ 4.1.2.12

$5 \sqrt{5} - 5$ と $40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$5$ を $5 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

ステップ 4.1.2.12.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

ステップ 4.1.2.12.3

$5$ を $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

ステップ 4.1.2.12.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.4.1

$5$ を $40$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

ステップ 4.1.2.12.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

ステップ 4.1.2.12.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

ステップ 4.2

$x = 1 - \sqrt{5}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1 - \sqrt{5}$ を $x$ に代入します。

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ から $\sqrt{5}$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

ステップ 4.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ を $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.2

$- \sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4

$- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.2

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.3.3

$- \sqrt{5}$ から $\sqrt{5}$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

ステップ 4.2.2.2.4

$6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

ステップ 4.2.2.4

$\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

ステップ 4.2.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

ステップ 4.2.2.5.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.5.3

簡約します。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

ステップ 4.2.2.5.4

$10 + 2 \sqrt{5}$ と $80$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.4.1

$2$ を $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

ステップ 4.2.2.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.4.2.1

$2$ を $80$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

ステップ 4.2.2.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

ステップ 4.2.2.5.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

ステップ 4.2.2.5.5

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

ステップ 4.2.2.5.6

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

ステップ 4.2.2.5.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

ステップ 4.2.2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

ステップ 4.2.2.6.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

ステップ 4.2.2.6.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

ステップ 4.2.2.7

$5 \sqrt{5} + 5$ と $40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.7.1

$5$ を $5 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

ステップ 4.2.2.7.2

$5$ を $5$ で因数分解します。

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

ステップ 4.2.2.7.3

$5$ を $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

ステップ 4.2.2.7.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.7.4.1

$5$ を $40$ で因数分解します。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

ステップ 4.2.2.7.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

ステップ 4.2.2.7.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例