微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$108$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{108}{x}$ の微分係数は $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 1.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ に $108$ をかけます。

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$- 108$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ です。

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.3

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$- \frac{108}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$4 x^{3} - 108 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $108$ を足します。

$4 x^{3} = 108$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $108$ を引きます。

$4 x^{3} - 108 = 0$

ステップ 2.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$4$ を $4 x^{3} - 108$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

ステップ 2.4.3.1.2

$4$ を $- 108$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

ステップ 2.4.3.1.3

$4$ を $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 27) = 0$

ステップ 2.4.3.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

ステップ 2.4.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

ステップ 2.4.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.4.6

$x^{2} + 3 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$x^{2} + 3 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

ステップ 2.4.6.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4.5

$- 1$ を $3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5.5

$- 1$ を $- 3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7

最終解は $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{108}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $9$ をかけます。

$18 + \frac{108}{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$108$ を $3$ で割ります。

$18 + 36$

ステップ 4.1.2.2

$18$ と $36$ をたし算します。

$54$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

ステップ 4.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, 54)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例