微分積分例

$\frac{e^{x}}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ です。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$e^{x} (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.3.4

最終解は $e^{x} (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{e^{x}}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{1}}{1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$e^{1}$ を $1$ で割ります。

$e^{1}$

ステップ 4.1.2.2

簡約します。

$e$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{0}}{0}$

ステップ 4.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, e)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例