微分積分例

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

ステップ 1.2

$\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

ステップ 1.2.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

ステップ 1.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

ステップ 1.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = x \sqrt{x + 3}$

ステップ 1.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - x \sqrt{x + 3}$

ステップ 1.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.3.1

微分します。

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ステップ 3.3.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 3.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

ステップ 3.3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

ステップ 3.5

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

ステップ 3.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

ステップ 3.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

ステップ 3.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y, y, 1$

ステップ 4.1.2

$2 y, y, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $2, 1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $y^{1}, y^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 4.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 4.1.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 4.1.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 4.1.6

$2, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 4.1.7

$y^{1}$ の因数は $y$ そのものです。

$y^{1} = y$

$y$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.8

$y^{1}, y^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y$

ステップ 4.1.9

$2 y, y, 1$ の最小公倍数は数値部分 $2$ に変数部分を掛けたものです。

$2 y$

ステップ 4.2

$\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ の各項に $2 y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ の各項に $2 y$ を掛けます。

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.5

$2 \frac{3 x}{y}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.5.1

$2$ と $\frac{3 x}{y}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0 (2 y)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

ステップ 4.2.3.1.2

$0$ に $y$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x = 0$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

$3 x$ を $3 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) + 6 x = 0$

ステップ 4.3.1.2

$3 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

ステップ 4.3.1.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (2)$ で因数分解します。

$3 x (x + 2) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.3.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.3.5

最終解は $3 x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

ステップ 5.2.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

ステップ 6.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

ステップ 6.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- 2) = - 2$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

ステップ 7.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

ステップ 7.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 2) = 2$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例