微分積分例

$f (x) = x^{3} - 6 x$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

ステップ 1.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 6$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$3 x^{2} = 6$

ステップ 2.2

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$6$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3

$x = \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.2

$2 \sqrt{2}$ から $6 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $- 4 \sqrt{2}$ です。

$- 4 \sqrt{2}$

ステップ 4

$x = - \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.3

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.1.8

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

ステップ 4.2.2

$- 2 \sqrt{2}$ と $6 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $4 \sqrt{2}$ です。

$4 \sqrt{2}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ の水平接線は $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ です。

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例