微分積分例

$x^{2} + 4 y^{2} = 36$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$

ステップ 1.2

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$36$ を $4$ で割ります。

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 1.4

$\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.4.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 1.4.1.2

$\frac{x^{2}}{4}$ を ${(\frac{x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = \frac{x}{2}$ です。

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 2 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.6

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.7

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.8

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.4.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 - x}{2}}$

ステップ 1.4.10

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$

ステップ 1.4.11

$\frac{6 + x}{2}$ に $\frac{6 - x}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.4.12

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}}$

ステップ 1.4.13

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.13.1

$(6 + x) (6 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{4}}$

ステップ 1.4.13.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 1.4.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

ステップ 1.4.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

ステップ 1.4.15

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

ステップ 1.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

ステップ 1.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

ステップ 1.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 4 (2 y y')$

ステップ 3.2.2.4

$2$ に $4$ をかけます。

$2 x + 8 y y'$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$8 y y' + 2 x$

ステップ 3.3

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$8 y y' + 2 x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$8 y y' = - 2 x$

ステップ 3.5.2

$8 y y' = - 2 x$ の各項を $8 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$8 y y' = - 2 x$ の各項を $8 y$ で割ります。

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{8 y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$2$ を $8 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{4 y}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{4 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

ステップ 5.2.2.3

$6$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

ステップ 5.2.2.4

$6$ に $6$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{36}}{2}$

ステップ 5.2.2.5

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

ステップ 5.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = \frac{6}{2}$

ステップ 5.2.3

$6$ を $2$ で割ります。

$f (0) = 3$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

ステップ 6.2.2.3

$6$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

ステップ 6.2.2.4

$6$ に $6$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{36}}{2}$

ステップ 6.2.2.5

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

ステップ 6.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = - \frac{6}{2}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$6$ を $2$ で割ります。

$f (0) = - 1 \cdot 3$

ステップ 6.2.3.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (0) = - 3$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例