微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.4.3

$9$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$x^{2} - 6 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 6 x + 9$ です。

$x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $3$ です。

$3$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ です。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 5.2.1.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ から $12$ を引きます。

$f' (2) = - 8 + 9$

ステップ 5.2.2.2

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$f' (2) = 1$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5.3

$x = 2$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

ステップ 6.2.1.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$16$ から $24$ を引きます。

$f' (4) = - 8 + 9$

ステップ 6.2.2.2

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$f' (4) = 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6.3

$x = 4$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 3), (3, \infty)$ で増加

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例