微分積分例

$f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $20 x^{4} - 120 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{4}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 20 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $20$ をかけます。

$f' (x) = 80 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 120 x^{2}$ の微分係数は $- 120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 80 x^{3} - 120 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 80 x^{3} - 120 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 120$ をかけます。

$f' (x) = 80 x^{3} - 240 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $80 x^{3} - 240 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [80 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 240 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (80 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [80 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$80$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $80 x^{3}$ の微分係数は $80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 80 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 80 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $80$ をかけます。

$f'' (x) = 240 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 240 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 240 x$ の微分係数は $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$- 240$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $240 x^{2} - 240$ です。

$240 x^{2} - 240$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $240 x^{2} - 240 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$240 x^{2} - 240 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $240$ を足します。

$240 x^{2} = 240$

ステップ 2.3

$240 x^{2} = 240$ の各項を $240$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$240 x^{2} = 240$ の各項を $240$ で割ります。

$\frac{240 x^{2}}{240} = \frac{240}{240}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$240$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{240 x^{2}}{240} = \frac{240}{240}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{240}{240}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$240$ を $240$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 20 {(1)}^{4} - 120 {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 20 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$20$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 20 - 120 {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 20 - 120 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 120$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 20 - 120$

ステップ 3.1.2.2

$20$ から $120$ を引きます。

$f (1) = - 100$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 100$ です。

$- 100$

ステップ 3.2

$f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, - 100)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, - 100)$

ステップ 3.3

$- 1$ を $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 20 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = 20 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$20$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 20 - 120 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 20 - 120 \cdot 1$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 120$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 20 - 120$

ステップ 3.3.2.2

$20$ から $120$ を引きます。

$f (- 1) = - 100$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 100$ です。

$- 100$

ステップ 3.4

$f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, - 100)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, - 100)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, - 100), (- 1, - 100)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 240 {(- 1.1)}^{2} - 240$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 240 \cdot 1.21 - 240$

ステップ 5.2.1.2

$240$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 290.4 - 240$

ステップ 5.2.2

$290.4$ から $240$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = 50.4$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $50.4$ です。

$50.4$

ステップ 5.3

$- 1.1$ で二次導関数は $50.4$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 240 {(0)}^{2} - 240$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 240 \cdot 0 - 240$

ステップ 6.2.1.2

$240$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 240$

ステップ 6.2.2

$0$ から $240$ を引きます。

$f'' (0) = - 240$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 240$ です。

$- 240$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $- 240$ です。これは負の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 240 {(1.1)}^{2} - 240$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = 240 \cdot 1.21 - 240$

ステップ 7.2.1.2

$240$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = 290.4 - 240$

ステップ 7.2.2

$290.4$ から $240$ を引きます。

$f'' (1.1) = 50.4$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $50.4$ です。

$50.4$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $50.4$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 100), (1, - 100)$ .

$(- 1, - 100), (1, - 100)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例