微分積分例

$f (x) = \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1.1

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ を ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2

${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.6.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.7.2

${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.1.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.1.11

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.1.12

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + 0)$

ステップ 1.1.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.13.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

ステップ 1.1.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.1.13.3

$- 2$ と $\frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.1.13.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ です。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ を ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.1.2.2

${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.1.2.2.2

$\frac{4}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

ステップ 1.2.1.2.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

ステップ 1.2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 5$ とします。

$- \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.2.2

$n = - \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.6.2

$- 4$ から $3$ を引きます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.2

${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.7.3.1

$4$ を ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ の左に移動させます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4 \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{2}{3}) (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.3.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 1.2.7.4

$\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.2.7.5

掛け算します。

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ステップ 1.2.7.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.2.7.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 1.2.8

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.2.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.2.11

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.2.12

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + 0)$

ステップ 1.2.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.13.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 2$

ステップ 1.2.13.2

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 2}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 1.2.13.3

$8$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ です。

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$16 = 0$

ステップ 2.3

$16 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例