微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2} + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - x^{2} + 9$ および $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

${({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.6

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 9$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) (2 \cdot ((x^{2} + 9) x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 9)}^{2}$ を $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.2

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$9$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.2

$9 x^{2}$ と $9 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.1

$18$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $81$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2 + 1} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} + 9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{2} x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{1 + 2}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{3}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.5

$9$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.2

$36 x^{3}$ から $36 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.3

$- 162 x$ から $324 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 36 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 486 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 18 u - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 18 u - 243$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 243$ で、その和が $- 18$ です。

$- 27, 9$

ステップ 1.1.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 27) (u + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5

$x^{2} + 9$ と ${(x^{2} + 9)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.5.1

$x^{2} + 9$ を $2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.5.2.1

$x^{2} + 9$ を ${(x^{2} + 9)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 27) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x^{2} - 27$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x^{2} - 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 27 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$x^{2} = 27$

ステップ 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

ステップ 1.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{27}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 27) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x}{x^{2} + 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 2.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 2.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f'' (- 8) = \frac{2 (- 8) ({(- 8)}^{2} - 27)}{{({(- 8)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{{({(- 8)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{{(64 + 9)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$64$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{73^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$73$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{389017}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 (64 - 27)}{389017}$

ステップ 4.2.3.2

$64$ から $27$ を引きます。

$f'' (- 8) = \frac{- 16 \cdot 37}{389017}$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 16$ に $37$ をかけます。

$f'' (- 8) = \frac{- 592}{389017}$

ステップ 4.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 8) = - \frac{592}{389017}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{592}{389017}$ です。

$- \frac{592}{389017}$

ステップ 4.3

$f'' (- 8)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = \frac{2 (- 3) ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{18^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$18$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{5832}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 (9 - 27)}{5832}$

ステップ 5.2.3.2

$9$ から $27$ を引きます。

$f'' (- 3) = \frac{- 6 \cdot - 18}{5832}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 6$ に $- 18$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{108}{5832}$

ステップ 5.2.4.2

$108$ と $5832$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$108$ を $108$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{108 (1)}{5832}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1

$108$ を $5832$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

ステップ 5.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 3) = \frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

ステップ 5.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 3) = \frac{1}{54}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{1}{54}$ です。

$\frac{1}{54}$

ステップ 5.3

$f'' (- 3)$ が正なので、区間 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 3 \sqrt{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = \frac{2 (3) ({(3)}^{2} - 27)}{{({(3)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{{(3^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{18^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$18$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{5832}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{6 (9 - 27)}{5832}$

ステップ 6.2.3.2

$9$ から $27$ を引きます。

$f'' (3) = \frac{6 \cdot - 18}{5832}$

ステップ 6.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$6$ に $- 18$ をかけます。

$f'' (3) = \frac{- 108}{5832}$

ステップ 6.2.4.2

$- 108$ と $5832$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

$108$ を $- 108$ で因数分解します。

$f'' (3) = \frac{108 (- 1)}{5832}$

ステップ 6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.2.1

$108$ を $5832$ で因数分解します。

$f'' (3) = \frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

ステップ 6.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (3) = \frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

ステップ 6.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (3) = \frac{- 1}{54}$

ステップ 6.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (3) = - \frac{1}{54}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{1}{54}$ です。

$- \frac{1}{54}$

ステップ 6.3

$f'' (3)$ が負なので、区間 $(0, 3 \sqrt{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 3 \sqrt{3})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = \frac{2 (8) ({(8)}^{2} - 27)}{{({(8)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ に $8$ をかけます。

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{{(8^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{{(64 + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$64$ と $9$ をたし算します。

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{73^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$73$ を $3$ 乗します。

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{389017}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = \frac{16 (64 - 27)}{389017}$

ステップ 7.2.3.2

$64$ から $27$ を引きます。

$f'' (8) = \frac{16 \cdot 37}{389017}$

ステップ 7.2.4

$16$ に $37$ をかけます。

$f'' (8) = \frac{592}{389017}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{592}{389017}$ です。

$\frac{592}{389017}$

ステップ 7.3

$f'' (8)$ が正なので、区間 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(3 \sqrt{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 3 \sqrt{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(3 \sqrt{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例