微分積分例

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

ステップ 1

$y = x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3}$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2}$ です。

$3 x^{2}$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

$f' (x)$ は $[0, 5]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 5

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 6

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$5$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$5$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

ステップ 9.2.2.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

ステップ 9.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

ステップ 9.2.2.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

ステップ 9.2.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

ステップ 9.2.2.5

$\frac{125}{3}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

ステップ 9.2.2.6

$3$ と $\frac{125}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

ステップ 9.2.2.7

$3$ に $125$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

ステップ 9.2.2.8

$375$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.8.1

$3$ を $375$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

ステップ 9.2.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

ステップ 9.2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

ステップ 9.2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

ステップ 9.2.2.8.2.4

$125$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

ステップ 10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

ステップ 10.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

ステップ 11

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$A (x) = 25$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例