微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 9 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{4}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 36 x^{3}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{3}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 36 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 108 x^{2} + 24 x$ です。

$- 108 x^{2} + 24 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

ステップ 2.2

$- 12 x$ を $- 108 x^{2} + 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12 x$ を $- 108 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 12 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 12 x$ を $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$9 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$9 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$9 x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $9 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$9 x = 2$

ステップ 2.5.2.2

$9 x = 2$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$9 x = 2$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{9}$

ステップ 2.6

最終解は $- 12 x (9 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{2}{9}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 9$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$\frac{2}{9}$ を $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{2}{9}$ で置換えます。

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{9}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.3

$9$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$4 (\frac{8}{729})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$4$ と $\frac{8}{729}$ をまとめます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

積の法則を $\frac{2}{9}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

ステップ 3.3.2.1.6

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

ステップ 3.3.2.1.7

$9$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

ステップ 3.3.2.1.8

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.8.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

ステップ 3.3.2.1.8.2

$9$ を $6561$ で因数分解します。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

ステップ 3.3.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

ステップ 3.3.2.1.8.4

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

ステップ 3.3.2.1.9

$- 1 (\frac{16}{729})$ を $- (\frac{16}{729})$ に書き換えます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

ステップ 3.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

ステップ 3.3.2.2.2

$32$ から $16$ を引きます。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $\frac{16}{729}$ です。

$\frac{16}{729}$

ステップ 3.4

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ で代入して $\frac{2}{9}$ 求めた点は、 $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 108$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2.1.3

$24$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

ステップ 5.2.2

$- 1.08$ から $2.4$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3.48$ です。

$- 3.48$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 3.48$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \frac{2}{9})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{1}$ で置換えます。

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.\overline{1}$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

ステップ 6.2.1.2

$- 108$ に $0.01234567$ をかけます。

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

ステップ 6.2.1.3

$24$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

ステップ 6.2.2

$- 1.33333333$ と $2.\overline{6}$ をたし算します。

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1.33333333$ です。

$1.33333333$

ステップ 6.3

$0.\overline{1}$ で二次導関数は $1.33333333$ です。これは正の値なので、 $(0, \frac{2}{9})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \frac{2}{9})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{2}{9}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.3\overline{2}$ で置換えます。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.3\overline{2}$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

ステップ 7.2.1.2

$- 108$ に $0.10382716$ をかけます。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

ステップ 7.2.1.3

$24$ に $0.3\overline{2}$ をかけます。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

ステップ 7.2.2

$- 11.21333333$ と $7.73333333$ をたし算します。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3.48$ です。

$- 3.48$

ステップ 7.3

$0.3\overline{2}$ で二次導関数は $- 3.48$ です。これは負の値なので、 $(\frac{2}{9}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{2}{9}, \infty)$ で減少

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例