微分積分例

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

ステップ 6

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $11$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7

$11$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$e$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 9.1.2

$e$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

分配則を当てはめます。

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.3.3

共通因数を約分します。

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.3.4

式を書き換えます。

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 9.3.5

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

ステップ 9.3.6

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

ステップ 9.3.7

$e$ を $1$ で割ります。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

ステップ 9.3.8

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

ステップ 9.3.9

$- 11$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2} - 2 - 11$

ステップ 9.3.10

$- 2$ から $11$ を引きます。

$2 e^{2} - 13$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 e^{2} - 13$

10進法形式：

$1.77811219 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例