微分積分例

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

ステップ 1

$u = \arctan (t)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

$t$ と $\frac{1}{t^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 3

$u = t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 t + 0$

ステップ 3.1.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 3.2

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 4 + 1$

ステップ 3.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 5$

ステップ 3.4

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

ステップ 3.5

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = x^{4} + 1$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x^{2}$ および $2$ で $\arctan (t) t$ の値を求めます。

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

ステップ 7.2

$x^{4} + 1$ および $5$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

ステップ 7.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

ステップ 8.2

$\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

ステップ 8.3

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 8.4

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 8.6

$2$ を $\arctan (x^{2}) x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.1.2

$\frac{1}{5}$ と $| x^{4} + 1 |$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$2$ を $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.3.3

式を書き換えます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.4

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ をまとめます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.5

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.6

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.8

$2$ を $\arctan (x^{2}) x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

ステップ 9.2.9

$\arctan (2)$ の値を求めます。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

ステップ 9.2.10

$- 2$ に $1.10714871$ をかけます。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$

微分積分 例

微分積分例