微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$4$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

ステップ 6.1.2

$4$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

ステップ 6.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

ステップ 6.1.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

ステップ 6.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

ステップ 6.1.3.5

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

ステップ 6.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

ステップ 6.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

ステップ 6.3.3

$4$ を $1$ で割ります。

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

10進法形式：

$0.63629436 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例