微分積分例

$\int - 2 x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{- x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 2.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \frac{u_{2}}{2} + C$

ステップ 5.2.3

$2$ と $\frac{u_{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

ステップ 5.2.4.2

$u_{2}$ を $1$ で割ります。

$u_{2} + C$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} + C$

微分積分 例

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