微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \arcsin (4 x)$ とします。次に $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \arcsin (4 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\arcsin (4 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3.2

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3.2.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.4

$4$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.6

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

ステップ 1.2

$u_{2} = \arcsin (4 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \arcsin (0)$

ステップ 1.3.2

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{2} = \arcsin (4 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 1.5.2

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

ステップ 4.2.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

ステップ 4.2.3

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

ステップ 4.2.6

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{π}{6}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

ステップ 5.2

まとめる。

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

ステップ 5.3

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

ステップ 5.4

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

ステップ 5.5

$8$ に $36$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{288}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π^{2}}{288}$

10進法形式：

$0.03426945 \dots$

微分積分 例

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