微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = - \cos (x)$ とします。次に $d u = \sin (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = - \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- - \sin (x)$

ステップ 1.1.4

掛け算します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (x)$

ステップ 1.2

$u = - \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - \cos (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 1.4

$u = - \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = - 0$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$0$ および $- 1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(e^{0}) - e^{- 1}$

ステップ 3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - e^{- 1}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{e}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$1 - \frac{1}{e}$

10進法形式：

$0.63212055 \dots$

微分積分 例

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