微分積分例

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(2 x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.4

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.5.2

$5 x + 1$ を $1$ で割ります。

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.5.2

$(B) (2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

ステップ 1.1.6.6

分配則を当てはめます。

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

ステップ 1.1.6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

ステップ 1.1.6.8

$B$ に $1$ をかけます。

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

ステップ 1.1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$B$ を移動させます。

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

ステップ 1.1.7.2

$- A$ を移動させます。

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = A + 2 B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$5 = A + 2 B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + 2 B = 5$ として書き換えます。

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $2 B$ を引きます。

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $5 - 2 B$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $5 - 2 B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$- 1 (5 - 2 B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$2 B$ と $B$ をたし算します。

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3

$1 = - 5 + 3 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 5 + 3 B = 1$ として書き換えます。

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.2.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3

$3 B = 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

$3 B = 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$6$ を $3$ で割ります。

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 5 - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$5 - 2 \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$A = 5 - 4$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$5$ から $4$ を引きます。

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

ステップ 1.5

式から0を削除します。

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 3

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 4.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 8

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

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