微分積分例

$y = 4 x - \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 - \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

ステップ 3.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x^{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 4.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 4.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 4.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$6 x^{- 4}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.5.2

$6$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例