微分積分例

$y = \cos (2 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 \sin (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \cos (2 x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f''' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f''' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f''' (x) = - 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 3.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = 8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 8 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 3.3.5

$8$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 8 \sin (2 x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (2 x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

ステップ 4.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 8 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.3.2

$2$ に $8$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 \cos (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 16 \cos (2 x) \cdot 1$

ステップ 4.3.4

$16$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 \cos (2 x)$

微分積分 例

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