微分積分例

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ を $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ に書き換えます。

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$\csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.1.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$\csc (x)$ と $- \tan (x)$ を並べ替えます。

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.2.2

括弧を付けます。

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.2.3

正弦と余弦に関して $\csc (x) (- \tan (x))$ を書き換えます。

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.2.4

共通因数を約分します。

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.4

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.4.1

括弧を付けます。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.4.2

正弦と余弦に関して $- \tan (x) \csc (x)$ を書き換えます。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

ステップ 1.3.1.6

$- \tan (x) (- \tan (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.6.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.6.3

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.6.4

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

ステップ 1.3.1.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.3.1.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 1.3.2

$- \sec (x)$ から $\sec (x)$ を引きます。

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 3

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 5

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 9

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

ステップ 10

簡約します。

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$

微分積分 例

微分積分例