微分積分例

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1 + x}{1 - x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1 + x}{1 - x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

ステップ 2

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.10

掛け算します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.12

項を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.12.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.12.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.12.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 3.12.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ に $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{1 + x}{1 - x}$ に当てはめます。

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ と ${(1 - x)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 4.2.4

${(1 - x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 4.2.4.2

${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

${(1 + x)}^{2}$ を $(1 + x) (1 + x)$ に書き換えます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

ステップ 4.3.5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 + x)$ を展開します。

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ステップ 4.3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

ステップ 4.3.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

ステップ 4.3.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

ステップ 4.3.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.6.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

ステップ 4.3.6.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

ステップ 4.3.6.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

ステップ 4.3.6.1.4

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

ステップ 4.3.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

ステップ 4.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

ステップ 4.3.8

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

ステップ 4.3.9

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

ステップ 4.3.10

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

ステップ 4.3.11

$2$ を $2 x^{2} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.11.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

ステップ 4.3.11.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

ステップ 4.3.11.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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