微分積分例

$\frac{e^{2 x}}{\sin (5 x)}$

ステップ 1

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\sin (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\sin (5 x) (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 5.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) \cdot 1)}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 5.4

$\cos (5 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 6.1.2

$2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 6.2

$e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} \sin (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 6.2.2

$e^{2 x}$ を $- 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

ステップ 6.2.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x) - 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

微分積分 例

微分積分例