微分積分例

$\frac{\arcsin (3 x)}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (3 x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (3 x)] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6

$\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} (\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.3

$\sqrt{1 - 9 x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x))}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x - \sqrt{1 - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.3

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 3 x$ です。

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - (3 x))} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{- \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x) + 3 x}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

微分積分 例

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