微分積分例

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 2.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan^{4} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ です。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を $4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を $4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4.1.2

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を $- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

ステップ 4.1.3

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を $4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

ステップ 4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

微分積分 例

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