微分積分例

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 4}$ を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 4$ とします。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

ステップ 4.10

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.11

指数を足して ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.11.1

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.11.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.12

$2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 4.13

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.15

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

ステップ 4.16

項を簡約します。

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ステップ 4.16.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

ステップ 4.16.2

$2$ と $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

ステップ 4.16.3

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

ステップ 4.16.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.16.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

ステップ 4.16.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

微分積分 例

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