微分積分例

$y = \frac{x + y}{x - y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x + y$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - y) (1 + y')$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - y) (1 - y')$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4.2

$- x (- y')$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4.4

$- y (- y')$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.1.4.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.2

$x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.2.2

$x y' - y - y y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.2.3

$- y y'$ と $y y'$ をたし算します。

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.2.4

$x y' - y + x y' - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.3

$x y'$ と $x y'$ をたし算します。

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.2.4

$- y$ から $y$ を引きます。

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$2$ を $2 x y' - 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$2$ を $2 x y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.3.2

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.8.3.3

$2$ を $2 (x y') + 2 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に ${(x - y)}^{2}$ を掛けます。

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${(x - y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

ステップ 5.2.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

ステップ 5.2.1.3.2

$x$ を移動させます。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

方程式の両辺から $2 y' x$ を引きます。

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

${(x - y)}^{2}$ を $(x - y) (x - y)$ に書き換えます。

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - y) (x - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1.4.1

$y$ を移動させます。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.1.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.2

$- x y$ から $y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.2.1

$y$ を移動させます。

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.3.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.4

分配則を当てはめます。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.1.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $- 2 y' x y$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

ステップ 5.3.2.4

$y'$ を $- 2 y' x$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

ステップ 5.3.2.5

$y'$ を $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ で因数分解します。

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

ステップ 5.3.2.6

$y'$ を $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ で因数分解します。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

ステップ 5.3.2.7

$y'$ を $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

ステップ 5.3.3

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ の各項を $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ の各項を $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ で割ります。

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

微分積分 例

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