微分積分例

$y = 7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7^{\sec (x)} + \ln (x^{3}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ です。

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = 7^{x}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.2.1.2

$a$ = $7$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 3.3.3

$3$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

ステップ 3.3.4

$\frac{3}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.5

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

ステップ 3.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 3.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 3.3.5.2.3

式を書き換えます。

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

微分積分 例

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