微分積分例

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

ステップ 1

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

ステップ 3

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

ステップ 4

$(1 - u^{2}) u^{3}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

ステップ 4.2

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

ステップ 4.3

負をくくり出します。

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

ステップ 4.5

$2$ と $3$ をたし算します。

$\int u^{3} - u^{5} d u$

ステップ 4.6

$u^{3}$ と $- u^{5}$ を並べ替えます。

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{6}$ と $u^{6}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

微分積分 例

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