微分積分例

$f (x) = x^{\frac{3}{5}} (4 - x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [4 - x] + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{\frac{3}{5}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{3}{5}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [- x] + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{3}{5}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{5}} (- 1 \cdot 1) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{3}{5}} \cdot - 1 + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $x^{\frac{3}{5}}$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.6.3

$- 1 x^{\frac{3}{5}}$ を $- x^{\frac{3}{5}}$ に書き換えます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

ステップ 2.7

$n = \frac{3}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1})$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}})$

ステップ 6.2

$3$ から $5$ を引きます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}})$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}})$

ステップ 8

$\frac{3}{5}$ と $x^{- \frac{2}{5}}$ をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{5}}$ を分母に移動させます。

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + 4 \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$4$ と $\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{4 \cdot 3}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.3

$\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ と $x$ をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{5}}$ を分子に移動させます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{2}{5}}}{5}$

ステップ 10.2.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 10.2.5.1

$x^{- \frac{2}{5}}$ を移動させます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x)}{5}$

ステップ 10.2.5.2

$x^{- \frac{2}{5}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 10.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x^{1})}{5}$

ステップ 10.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + 1}}{5}$

ステップ 10.2.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

ステップ 10.2.5.4

公分母の分子をまとめます。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{- 2 + 5}{5}}}{5}$

ステップ 10.2.5.5

$- 2$ と $5$ をたし算します。

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

ステップ 10.2.6

$- x^{\frac{3}{5}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- x^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.7

$- x^{\frac{3}{5}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5 - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.9

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 5 x^{\frac{3}{5}} - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.10

$- 5 x^{\frac{3}{5}}$ から $3 x^{\frac{3}{5}}$ を引きます。

$\frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

微分積分 例

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