微分積分例

$\ln (\cos (x^{2}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 2

$\frac{1}{\cos (x^{2})}$ を $\sec (x^{2})$ に変換します。

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\sec (x^{2})$ を書き換えます。

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

ステップ 5.3

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

ステップ 5.3.2

$x$ と $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

ステップ 5.4

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

ステップ 5.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

ステップ 5.6

$\sin (x^{2})$ と $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 5.7

$2$ を $\sin (x^{2})$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

ステップ 5.8

分数を分解します。

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

ステップ 5.9

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ を $\tan (x^{2})$ に変換します。

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

ステップ 5.10

$2 x$ を $1$ で割ります。

$- (2 x \tan (x^{2}))$

ステップ 5.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x \tan (x^{2})$

微分積分 例

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