微分積分例

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + 5 + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.6

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

ステップ 2.9.2

$2$ を $x + 5 + \frac{1}{x}$ の左に移動させます。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4.5

$2$ に $5$ をかけます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 3.4.6

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

ステップ 3.4.7

$\frac{2}{x}$ と $x$ をまとめます。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

ステップ 3.4.8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.1

共通因数を約分します。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

ステップ 3.4.8.2

$2$ を $1$ で割ります。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

ステップ 3.6

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.6.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

ステップ 3.6.1.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.1.2

$1$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.1.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.1.3.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

ステップ 3.6.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

ステップ 3.7

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

微分積分 例

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