微分積分例

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$ を $e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}]$

ステップ 1.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x^{3} - 2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x)] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3} - 2 x$ とします。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3} - 2 x$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x^{3} - 2 x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5.2

総和則では、 $x^{3} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{1}{x})$

ステップ 7

$\ln (x^{3} - 2 x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

ステップ 8

$\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

ステップ 9

$\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

ステップ 11

$x$ と $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x}$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

ステップ 12

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ と $\frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分子を簡約します。

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ステップ 13.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1.1

$x$ を $x^{3} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 13.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.1.1.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.1.3

$\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2}$ に $3 x^{2} - 2$ をかけます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

ステップ 13.1.2

$\ln (x^{3} - 2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2}$ を掛けます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2})}{x}$

ステップ 13.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 13.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2}) + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.3

$\ln (x) \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 13.1.4.3.1

$\ln (x)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.3.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.4

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} + \ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.6

$\ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 13.1.4.6.1

$\ln (x^{3} - 2 x)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.4.6.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)$ を簡約します。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.5

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ と $\frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.1.6

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$ を積として書き換えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 13.2.2

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{(x^{2} - 2) x}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x (x^{2} - 2)}$

微分積分 例

微分積分例