微分積分例

$y = {(x^{5} \ln (x))}^{6}$

ステップ 1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x^{5} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

ステップ 1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{5} \ln (x)$ で置き換えます。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $x^{5} \ln (x)$ に当てはめます。

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

${(x^{5})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.1.2

$5$ に $5$ をかけます。

$6 (x^{25} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.2

指数を足して $x^{25}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$6 (x^{4} x^{25}) \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.2.3

$4$ と $25$ をたし算します。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.3

${(x^{5})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.3.2

$5$ に $5$ をかけます。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{25} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

ステップ 5.3.4

$5$ に $6$ をかけます。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{25} \ln^{5} (x) (\ln (x) (x^{4}))$

ステップ 5.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) \ln (x)$

ステップ 5.3.6

$4$ と $25$ をたし算します。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x) \ln (x)$

ステップ 5.3.7

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{5} (x))$

ステップ 5.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 5}$

ステップ 5.3.9

$1$ と $5$ をたし算します。

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{6} (x)$

微分積分 例

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