微分積分例

$y = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 4.2

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ と $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ をたし算します。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

微分積分 例

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