微分積分例

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x + 2}$ を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\log_{5} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x + 2$ とします。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 11

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 13.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 16

総和則では、 $5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 17

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 19

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 20

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

ステップ 21

分数をまとめます。

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ステップ 21.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

ステップ 21.2

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

ステップ 22.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

ステップ 22.3

項をまとめます。

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ステップ 22.3.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

ステップ 22.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$

微分積分 例

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