微分積分例

$y = e^{x^{5}} \ln (x)$

ステップ 1

$f (x) = e^{x^{5}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x^{5}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

ステップ 3

$e^{x^{5}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} (5 x^{4}))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

項を並べ替えます。

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

ステップ 6.2

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$5 x^{4} e^{x^{5}} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

微分積分 例

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