微分積分例

$x^{\frac{y}{z}}$

ステップ 1

$f = x$ および $g = \frac{y}{z}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{y}{z}$ と $x^{\frac{y}{z} - 1}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ をかけます。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2.3.2

$0$ と $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2.4

$\frac{1}{z}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{z}$ の微分係数は $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

ステップ 2.5

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$x^{\frac{y}{z}}$ と $\frac{1}{z}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

ステップ 2.5.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

ステップ 2.7.2

$\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$

微分積分 例