微分積分例

$s = t^{5} \ln (t)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{5} \ln (t))$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{5}$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.2

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$t^{5} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$t^{5}$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\frac{t^{5}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2

$t^{5}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$t$ を $t^{5}$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t \cdot t^{4}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{t^{4}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.2.2.5

$t^{4}$ を $1$ で割ります。

$t^{4} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

ステップ 3.3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{4} + \ln (t) (5 t^{4})$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

微分積分 例

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