微分積分例

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

ステップ 1

$f (x) = 7 x^{2}$ および $g (x) = 6 x + 5^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $6 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 4.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

ステップ 4.5

$2$ に $7$ をかけます。

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $7$ をかけます。

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.2

$14$ に $6$ をかけます。

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

ステップ 5.2.7

$5$ を $2$ 乗します。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

ステップ 5.2.8

$14$ に $25$ をかけます。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

ステップ 5.2.9

$42 x^{2}$ と $84 x^{2}$ をたし算します。

$126 x^{2} + 350 x$

微分積分 例

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