微分積分例

$\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

ステップ 1

$f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ および $g (q) = \sin (q)$ のとき、 $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ は $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (q) + \cos (q)$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ です。

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 3

$q$ に関する $\sin (q)$ の微分係数は $\cos (q)$ です。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 4

$q$ に関する $\cos (q)$ の微分係数は $- \sin (q)$ です。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 5

$q$ に関する $\sin (q)$ の微分係数は $\cos (q)$ です。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.4.1.1

$\sin (q) \cos (q)$ から $\sin (q) \cos (q)$ を引きます。

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.1.2

$\sin (q) (- \sin (q))$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.2

$- \sin (q) \sin (q)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.2.1

$\sin (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.2.2

$\sin (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.3

$- \cos (q) \cos (q)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.3.1

$\cos (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.3.2

$\cos (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.3

$- 1$ を $- \sin^{2} (q)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.4

$- 1$ を $- \cos^{2} (q)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.5

$- 1$ を $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.5

項をまとめます。

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ステップ 6.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

ステップ 6.5.2

$\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ を $\csc^{2} (q)$ に変換します。

$- \csc^{2} (q)$

微分積分 例

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