微分積分例

$h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 x^{2} - 2 e^{x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 e^{x}] - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} - 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 x \cdot x + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{6 (x \cdot x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

ステップ 6.3.2

$6 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

ステップ 6.5

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

微分積分 例

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