微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.4

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.8

$1$ から $4$ を引きます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

ステップ 4.4

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

ステップ 4.4.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

ステップ 4.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

ステップ 4.6

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

ステップ 4.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

ステップ 4.6.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

ステップ 7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 8

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 8.3

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 8.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例