微分積分例

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin^{3} (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 3

指数を足して $\sin^{3} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 3.2

$\sin (x)$ に $\sin^{3} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ を $\sin^{4} (x)$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 4.2

$- 1 \sin^{4} (x)$ を $- \sin^{4} (x)$ に書き換えます。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

ステップ 5

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6

$3$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

ステップ 9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

微分積分 例

微分積分例