微分積分例

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 1 + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

掛け算します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\sec^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.9

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.10.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.6

分数を分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.8

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \sin (x) \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.6

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.2

分数を分解します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.4

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.6

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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